1. Linear Combination(선형 결합): n개 실수로 표현될 수 있는 벡터의 집합
ex) {x1, x2, ... , xm}의 선형 결합
{x_1, x_2, ... , x_m}을 벡터공간 Rn의 벡터라고 하자.
임의의 스칼라 a1, a2, ... , am에 대해 a1x1+a2x2+...+amxm
2. Span(생성): 가능한 모든 선형 결합
ex) span{x1, x2, ... , xm} = $$\sum_{i=1}^m a_ix_i$$
공집합이 아닌 집합 {x1, x2, ... , xm}를 벡터공간 Rn의 부분집합이라고 하자. span은 이 원소들로 가능한 모든
선형 결합의 집합이다. 이 때, {a1, a2, ... , am}은 실수의 집합이다.
3. Linear Independence(선형 독립)
ex) {x1, x2, ... , xm}이 선형적으로 독립이다.
이 집합의 원소인 어떤 벡터 xi에 대해 집합 내 나머지 원소인 벡터들의 span으로도 표현할 수 없다.
(1) Theorem(정리):
벡터공간 Rn의 부분집합인 벡터 집합 {x1, x2, ... , xm}은 선형 종속이다.
iff
$$a_1x_1+a_2x_2+...+a_mx_m=0$$
일 때 스칼라 a1, a2, ... , am 중 0이 아닌 어떤 a_i가 하나라도 존재한다면.
Proof (necessity): 선형 종속의 정의를 활용한다.
$$x_i=a_1x_1+ ... +a_{i-1}x_{i-1}+a_{i+1}x_{i+1}$$
$$a_1x_1+ ... +a_{i-1}x_{i-1}-x_i+a_{i+1}x_{i+1}=0$$
Proof (sufficiency): a_i가 0이 아니라고 가정한다.
$$x_i=-(a_1/a_i)x_1- ... -(a_{i-1}/x_{i-1})-(a_{i+1}/a_i)x_{i+1}- ... -(a_m/a_i)x_m$$
(2) Corollary(따름 정리): 위 정리의 contraposition(대우)를 사용한 따름 정리는 아래와 같다.
벡터공간 Rn의 부분집합인 벡터 집합 {x1, x2, ... , xm}은 선형적으로 독립이다.
iff
$$a_1x_1+a_2x_2+...+a_mx_m=0 -> a_i (1<=i<=m)=0$$
(3) linear space(선형 공간)의 dimension(차원): 선형공간 내 선형독립인 벡터의 최대 갯수
4. basis(기저): 선형 조합의 집합(span)으로 전체 벡터 공간을 이룰 수 있는 선형적으로 독립인 벡터
ex) {b1, b2, ... , bn}이 벡터공간 Rn의 기저이다. (* 기저는 유일하지 않다.*)
집합 {b1, b2, ... , bn}을 벡터공간 Rn의 부분집합이라고 하자.
{b1, b2, ... , bn}이 선형 독립이면서 선형조합의 집합(span)으로 벡터공간 Rn을 생성한다.
(1) Note) {b1, b2, ... , bn}이 벡터공간 Rn의 기저일 때 이 벡터공간 내 벡터 x와 {b1, b2, ... , bn}의 합집합은
선형적으로 종속이다.
(2) Theorem: n차원 벡터공간에서 어떤 n개의 선형독립 벡터들도 basis(기저)가 된다.
Proof) {u1, u2, ... , un}을 n개의 선형 독립 벡터의 집합이라고 하자.
{u1, u2, ... , un}과 {x}의 합집합은 선형 종속이다. 따라서
$$a_0x+a_1u_1+ ... +a_nu_n=0$$
{u1, u2, ... , un}이 선형 독립이므로 선형 종속이기 위해서 a0!=0이다. 따라서
$$x = c_1u_1+ ... + c_nu_n$$
where c_i=-a_i/a_0